题目

如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE， （1）求证：△DEK∽△DFB； （2）求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）联结CD，当=时，求x的值． 　 答案：【考点】相似形综合题；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值． 【专题】综合题；分类讨论． 【分析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可； （2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到=，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE===；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域； （3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD=EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=CD．由=可得tan∠HOC==，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值． 【解答】（1）证明：如图1， 由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°． ∵DK⊥AB， ∴∠ADK=∠BDK=90°， ∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°， ∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB， ∴△DEK∽△DFB； （2）解：∵∠A=∠AKD=45°， ∴DK=DA=x． ∵AB=2， ∴DB=2﹣x． ∵△DFB∽△DEK， ∴=， ∴y=cot∠CFE=cot∠DFE===． 当点F在点B处时， DB=BC=AB•sinA=2×=，AD=AB﹣AD=2﹣； 当点E在点A处时， AD=AC=AB•cosA=2×=； ∴该函数的解析式为y=，定义域为2﹣＜x＜； （3）取线段EF的中点O，连接OC、OD， ∵∠ECF=∠EDF=90°， ∴OC=OD=EF． 设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH=CD． ∵=，∴sin∠HOC==， ∴∠HOC=60° ①若点K在线段AC上，如图2， ∵CO=EF=OF， ∴∠OCF=∠OFC=∠HOC=30°， ∴y=cot30°=， ∴=， 解得：x=﹣1； ②若点K在线段AC的延长线上，如图3， ∵OC=OF，∠FOC=60°， ∴△OFC是等边三角形， ∴∠OFC=60°， ∴y=cot60°=， ∴=， 解得：x=3﹣； 综上所述：x的值为﹣1或3﹣． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，在解决本题的过程中还用到了临界值法、分类讨论的思想，而运用（1）中的结论则是解决第（2）小题的关键，取EF的中点O，将转化为则是解决第（3）小题的关键．

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