题目

已知抛物线C：y=2x2 ， 直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N． （1） 证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； （2） 是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由． 答案： 证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2= k2 ．∵xN=xM= x1+x22 = k4 ，∴N点的坐标为（ k4 ， k28 ）．∵y′=4x，∴y′| x=k4 =k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB 解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N． 由于M是AB的中点，∴|MN|= 12 |AB|．由（1）知yM= 12 （y1+y2）= 12 （kx1+2+kx2+2）= 12  [k（x1+x2）+4]= 12 （4+ k22 ）=2+ k24 ，由MN⊥x轴，则|MN|=|yM﹣yN|=2+ k24 ﹣ k28 = k2+168 ，∵|AB|= 1+k2 • (x1+x2)2−4x1x2 = 1+k2 • k24−4×(−1) = 12 1+k2 • 16+k2 由 k2+168 = 14 1+k2 • 16+k2 ∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N

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