题目

已知函数f（x）=ax2﹣4ln（x﹣1）． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围． 答案：考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （I）当a=1时，f（x）=x2﹣4ln（x﹣1）（x＞1），f′（x）=，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间； （II）对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立⇔a≤，x∈[2，e+1]．令u（x）=，x∈[2，e+1]，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出． 解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=x2﹣4ln（x﹣1）（x＞1），f′（x）=2x﹣=， 当x＞2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减． ∴函数f（x）单调递增区间是（2，+∞）；函数f（x）单调递减区间是（1，2）． （II）对一切x∈[2，e+1]，f（x）≤4恒成立⇔a≤，x∈[2，e+1]． 令u（x）=，x∈[2，e+1]， u′（x）==， 令v（x）=4x﹣8﹣8ln（x﹣1），x∈[2，e+1]， v′（x）=4﹣=， 当x∈[2，3）时，v′（x）＜0，此时函数v（x）单调递减；当x∈（3，e+1]时，v′（x）＞0，此时函数v（x）单调递增． 而v（2）=0，v（e+1）=4（e+1）﹣8﹣8=4（e﹣3）＜0， ∴u′（x）≤0（只有x=2时取等号）， ∴函数u（x）单调递减， ∴当x=e+1时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（e+1）=． ∴a，即为a的取值范围．

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