题目

如图所示，用一根长为 的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（sin37°=0.6，cos37°＝10m/s2 ， 结果可用根式表示）： （1） 若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ （2） 若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度 为多大？ （3） 细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，请在坐标纸上画出ω的取值范围在0到 之间时的T—ω2的图象（要求标明关键点的坐标值）。 答案： 解：小球刚好离开锥面时，小球只受到重力和拉力，小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得： mgtanθ=mω02lsinθ解得： ω0=glcosθ=12.5rad/s 解：同理，当细线与竖直方向成600角时由牛顿第二定律及向心力公式得： mgtanθ=mω'2lsinθ解得： ω′=glcosα=20rad/s 解：a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N 标出第一个特殊点坐标（0，8 N）b.当0<ω< 12.5rad/s 时： Tsinθ−Ncosθ=mω2lsinθ ； Tcosθ−Nsinθ=mg ；解得 T=mgcosθ+mlω2sin2θ=8+925ω2当 ω2=12.5rad/s 时，T2=12.5N 标出第二个特殊点坐标【12.5(rad/s)2，12.5N】c．当 12.5rad/s≤ω≤20rad/s 时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β；T3sinβ=mω2lsinβ解得： T3=mlω2当 ω=ω′=20rad/s 时， T3=20N标出第三个特殊点坐标【20(rad/s)2，20N】画出T-ω2图象如图所示.

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