题目

已知：如图，在菱形 中， 为边 的中点， 与对角线 交于点 ，过 作 于点 ， ． （1） 求证： ； （2） 求证： ． 答案： 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵∠ADB=∠FCB， ∴∠FCB=∠DBC， ∴GB=GC， 又∵GE⊥BC， ∴BC=2BE， ∴AB=2BE； 解：如图，延长CF，DA交于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD=∠DBC=∠ADB， ∴∠H=∠FCB， ∴∠H=∠ADB， ∴DG=HG， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF，AB=2BF， ∴BF=BE， 在△AFH和△BFC中， {∠H=∠FCB∠AFH=∠BFCAF=BF ， ∴△AFH≌△BFC（AAS）， ∴CF=FH， 在△BGF和△BGE中， {BF=BE∠ABD=∠DBCBG=BG ， ∴△BGF≌△BGE（SAS）， ∴FG=GE， ∴DG=HG=HF+FG=FC+GE．

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