题目

设函数 . （1）求的最小正周期和值域；（2）在锐角中，设角，，的对边长分别为，，．若，，求周长的取值范围．答案：解：因为 f(x)=43×1+cos2x2−2sin2x+1 =23cos2x−2sin2x+23+1 =4cos(2x+π6)+23+1 所以 f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π . 因为 −1≤cos(2x+π6)≤1 ，所以 −3+23≤4cos(2x+π6)+23+1≤5+23 . 所以，函数 f(x) 的值域为 [−3+23,5+23] 解：由 f(A)=1 ，得 cos(2A+π6)=−32 . 因为 A 为锐角，所以 π6<2A+π6<7π6 ，所以 2A+π6=5π6 ，即 A=π3 . 因为 A+B+C=π ，所以 C=2π3−B . 由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ，得 b=233sinB ， c=233sinC=233sin(2π3−B) ，所以 a+b+c=1+233[sinB+sin(2π3−B)]=1+233(sinB+32cosB+12sinB) =1+233(32sinB+32cosB)=1+2sin(B+π6) . 因为 △ABC 为锐角三角形，所以 0<B<π2 ， 0<C<π2 ，即 {0<B<π20<2π3−B<π2 ，解得 π6<B<π2 . 所以 π3<B+π6<2π3 ，所以 32<sin(B+π6)≤1 ，即 3+1<1+2sin(B+π6)≤3 . 所以 △ABC 周长的取值范围为区间 (3+1,3]

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