题目

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc． （Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积． 答案：解：（Ⅰ）由a，b，c是一个等比数列， 得：b2=ac，∵a2﹣c2=ac﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2那么：cosA= b2+c2−a22bc = bc2bc = 12 ，∵0＜A＜π∴A= π3 （Ⅱ）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=2sin2C，得：2sinBcosC=4sinCcosC．即4sinCcosC﹣2sinBcosC=0，可得：cosC=0或sinB=2sinC．∵0＜C＜π∴C= π2 或b=2c．①当C= π2 ，由题意，A= π3 ，a= 3 ，由正弦定理得： csinπ2=3sinπ3 ，∴c=2．故由勾股定理得：b=1．故得△ABC的面积S= 12 absinC= 12×3×1 = 32 ．②当b=2c时，由题意，A= π3 ，a= 3 ，所以由余弦定理得：那么：cosA= b2+c2−a22bc ，可得：c=1，b=2．故得△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12×1×2×sinπ3 = 32 综上①②得：△ABC的面积S= 32

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