题目

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1） 证明：直线CE∥平面PAB； （2） 点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值． 答案： 证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF // AD,EF= 12 AD，AB=BC= 12 AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC // EF, BC=EF          ​ ∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， ∴直线CE // 平面PAB 解：四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= 12 AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= 3 ， ∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN= 33 MN，BC=1，可得：1+ 13 BN2=BN2，BN= 62 ，MN= 62 ， 作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ= 12+(62)2 = 102 ，二面角M-AB-D的余弦值为： 1102 = 105

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