题目

已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF． （1） 如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数： （2） 如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； （3） 若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系． 答案： 解：如图，延长EP交CD于点G∵AB∥CD，∠AEP＝45°，∴∠DGP=∠AEP=45° ∵∠DFP＝105°∴∠PFG=180°−∠DFP=75° ∴∠EPF=∠DGP+∠PFG=120°； 解：如图，延长EP交CD于点G，FN交AB于点Q根据题意，得∠AEM=∠PEM，∠PFN=∠DFN设∠AEM=∠PEM=∠1，∠PFN=∠DFN=∠2 ∴∠PFG=180°−∠PFD=180°−2∠2 ∵AB∥CD∴∠EQF=∠DFN=∠2，∠PGF=∠AEP，即∠PGF=∠AEP=2∠1∴∠EPF=∠PGF+∠PFG=180°−2∠2+2∠1 ∵∠BEN=∠PEM=∠1 ∴∠EQF=∠BEN+∠N，即∠2=∠1+∠N∵∠M+∠N+∠PFN=180°∴180°−3∠N+∠N+∠PFN=180°∴∠N=∠22 将∠N=∠22代入到∠2=∠1+∠N得：∠2=2∠1 ∴∠EPF+∠PFN=180°−2∠2+2∠1+∠2=180°∴EP//FN； 解：当点P在直线EF左侧时，FN交AB于点Q，如图，根据题意，得：∠AEM=∠PEM，∠PFN=∠DFN设∠AEM=∠PEM=∠1，∠PFN=∠DFN=∠2 ∴∠QEN=∠AEM=∠1 ∵AB∥CD∴∠EQN=∠DFN=∠2 ∴∠ENF=∠QEN+∠EQN=∠1+∠2 ∵∠PGN=∠PFN+∠ENF=∠2+∠ENF，∠EPF+∠PGN+∠PEM=180° ∴∠EPF+∠2+∠ENF+∠1=180°将∠1+∠2=∠ENF代入到∠EPF+∠2+∠ENF+∠1=180°，得：∠EPF+∠ENF+∠ENF=180°∴∠EPF+2∠ENF=180°；当点P在直线EF右侧时，FN交AB于点Q，EM和CD相交于点K，如图，根据题意，得：∠AEM=∠PEM，∠PFN=∠DFN设∠AEM=∠PEM=∠1，∠PFN=∠DFN=∠2 ∴∠QEN=∠AEM=∠1，∠PEQ=180°−2∠1 ∵AB∥CD∴∠NKF=∠QEN=∠1，∠PBQ=∠PFD=2∠2 ∴∠ENF=∠NKF+∠DFN=∠1+∠2 ∵∠PQB=∠EPF+∠PEQ ∴2∠2=∠EPF+(180°−2∠1) ∴2(∠1+∠2)=∠EPF+180°将∠ENF=∠1+∠2代入到2(∠1+∠2)=∠EPF+180°，得：2∠ENF=∠EPF+180°∴2∠ENF−∠EPF=180°．

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