题目

过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．在平面直角坐标系中，点．（1）已知点，，，分别以A，B为圆心，1为半径作，，以C为圆心，2为半径作，其中是点P和x轴的点线圆的是；（2）记点P和x轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求的半径r的取值范围；（3）直接写岀点P和直线的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围．答案：【1】⊙A ， ⊙C 解：如图1， ⊙D1 过点P，且与x轴和直线 y=3x+3 都相切．此时 ⊙D1 的半径 r=1 . 如图2， ⊙D2 过点P，且与x轴和直线 y=3x+3 都相切．切点分别为M，N，连接 D2M ， D2N ， D2P ，过点 D2 作 D2Q⊥y 轴于点Q．设 D2M=r ， ∴ D2P=D2M=r ．易证 OQ=D2M=r ． ∴ PQ=r−2 ． ∵ ∠MEN=60° ， ∴ ∠D2EM=30° ． ∴ EM=3r ． ∴ OM=D2Q=3r−3 ．根据勾股定理可以得到： D2P2=D2Q2+PQ2 ，即 r2=(3r−3)2+(r−2)2 ．解得 r1=1 （舍）， r2=73 ． ∴ 1<r<73 ．解：如图：当k=1，有最小点线圆 ∵OP=2 ∴PB=OB= 2 ∴OD=BD=1 ∴点E的横坐标为 12 当E点为0时，线切圆半径最大，但k≠0，故点E的横坐标不能为0；同理，当k=1时。有最小点线圆，且半径横坐标为- 12 综上，最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范 −12≤x<0 或 0<x≤12 ．

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