题目

如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C.连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点. （1） 若△ABC的面积为8，求m的值； （2） 在（1）的条件下，求 的最大值； （3） 如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标. 答案： 解：y＝x2＋(m－2)x－2m＝(x＋m)(x－2)， 令y＝0，则(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2， ∴A(－m，0)、B(2，0)， 令x＝0，则y＝－2m， ∴C(0，－2m)， ∴AB＝2＋m，OC＝2m. ∵S△ABC＝ 12 ×(2＋m)×2m＝8， 解得m1＝2，m2＝－4， ∵m＞0， ∴m＝2； 解：过点D作DF∥y轴交BC于F， 由(1)可知：m＝2， ∴抛物线的解析式为y＝x2－4， ∴B(2，0)、C(0，－4)， ∴直线BC的解析式为y＝2x－4. 设D(t，t2－4)，则F(t，2t－4)， ∴DF＝2t－4－(t2－4)＝－t2＋2t，OC＝4， ∵DF∥y轴， ∴ DEOE ＝ DFOC ＝ −t2+2t4 ＝－ 14 (t－1)2＋ 14 ， 当t＝1时， DEOE 有最大值为 14 ，此时D(1，3)； 解：设M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)， 联立 {y=kx+by=x2+(m−2)x−2m  ，整理得x2＋(m－2－k)x－2m－b＝0， ∴x1＋x2＝2＋k－m，x1x2＝－2m－b， 设点Q的横坐标为n，则Q(n，kn＋b)， 过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L， ∵MA∥PH， ∴△MKA∽△QLH， ∴ MKQL ＝ KALH ， 即 kx1+bkn+b=−m−x1x2−n ，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm－bn＝0， ∴k(－2m－b)＋b(2＋k－m)＋kmn＋bm－bn＝0， ∴(km－b)(n－2)＝0， ②km－b＝0，此时直线为y＝k(x＋m)，过点A(－m，0)，不符合题意， ②当n－2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2.

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