题目

正方形ABCD和正方形CEFG如图1所示，其中B、C、E在一条直线上，O是AF的中点，连接OD、OG （1） 探究OD与OG的位置关系 的值；(写出结论不用证明) （2） 如图2所示，将正方形ABCD和正方形CEFG改为菱形ABCD和菱形CEFG，且∠ABC=∠DCE=120°，探究OD与OG的位置关系，及 的比值； （3） 拓展探索：把图1中的正方形CEFG绕C顺时针旋转小于90°的角后，其他条件均不变，问第1问中的两个结论是否发生变化?(写出结论不用证明) 答案： 解：OD⊥OG， ODOG =1，理由如下：如图1，延长GO交AD于点H，由已知可得OA=OF，AD∥GF，∴∠OAH=∠OFG，∠AHO=∠FGO，∴△AHO≌△FGO，∴OH=OG，AH=GF=GC，又∵AD=CD，∴DH=DG，∴DO⊥OG，∵∠ADC=90°，∴DO=OG，∴ ODOG=1 ； 解：OD⊥OG ， ODOG=33 ，理由如下：如图2所示，延长GO交AD于H.∵菱形ABCD和菱形CEFG，且B、C、E在一条直线上，∴AD∥GF，∵O是AF的中点，∴△AOH≌△FOG，∴AH=CF，HO=OG，∵CF=CG，AD=CD，∴DH=DG，∴DO⊥HG且∠ODG=60°，∴ ODOG=13=33 解：第(1)问中的两个结论没有发生变化，理由如下：如图3，过点F作FH∥AD交DO的延长线于点H，延长DC交FH于点M，连接GH，DG，∴∠ADO=∠FHO，∠DAO=∠HFO，又∵AO=FO，∴△ADO≌△FHO，∴FH=AD=CD，DO=HO，∵∠GCE=∠CMN=∠E=∠EFG=90°，∴∠DCG+∠MCN=∠MCN+∠CNM=∠FNE+∠NEF=∠NEF+∠GFH=90°，又∵∠CNM=∠FNE，∴∠DCG=∠CNM=∠GFH，又∵DC=FH，CG=FG，∴△DCG≌△HFG，∴DG=HG，∠DGC=∠HGF，∵∠CGH+∠HFG=∠CGF=90°，∴∠CGH+∠DGC=∠=90°，∴△DGH是等腰直角三角形，又∵DO=HO，∴DO=GO，且DO⊥GO，∴ DOGO=1 ，∴（1）中结论仍然成立.

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