题目

已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，点H为弧AC上一点，连接DH交AB于点F，连接HA、BD，点G为DH上一点，连接AG，∠HAG=∠BDC。 （1） 如图1，求证：AG⊥HD； （2） 如图2，连接HC，若HC=HF，求证：HC=HA； （3） 如图3，连接HO交AG于点K，若点F为DG的中点，HC=2HG，求 的值。 答案： 解：证明：设∠HAG为α ∵∠HAG=∠BDC，∴∠HAG=∠BDC=α ∵CD⊥AB，∴∠BDC+∠DBE=90° ∴∠DBE=90°-α ∵∠AHG与∠ABD同对弧AD ∴∠AHG=∠ABD=90°-α ∴∠AHG+∠HAG=90° ∴∠AGH=180°-∠AHG-∠HAG=90° ∴AG⊥HD 解：连接AC、AD，CF ∵AB为直径，AB⊥CD ∴CE=DE ∴AB垂直平分CD ∴AC=AD   FC=FD ∴∠ACD=∠ADC  ∠FCD=∠FDC ∴∠ACD=∠FCD=∠ADC-∠FDC ∴∠ACF=∠ADF 设∠ACF=∠ADF=β   ∠FCD=∠FDC=α ∵∠ADH与∠ACH同对弧AH ∴∠ADH=∠ACH=β ∴∠HCF=∠HCA+∠ACF=2β ∵∠HFC=∠FCD+∠FDC ∴∠HFC=2α ∵HC=HF   ∴∠HCF=∠HFC  ∴2α=2β ∴α=β ∵AB为直径   ∴∠ADB=90° ∴∠HDB=90°-β ∵∠HAB与∠HDB同对弧BH ∴∠HAB=∠HDB=90°-β ∵AB⊥CD ∴∠BFD=90°-α=90°-β ∵∠HFA=∠BFD=90°-α=90°-β ∴∠HFA=∠HAF ∴HF=HA  ∴HC=HA 解：在DH上截取DT=HC， ∵∠ADH与∠ACH同对弧AH  ∴∠ADH=∠ACH ∵AB为直径AB⊥CD  ∴弧AC=弧AD  ∴AC=AD ∴△AHC≌△ATD  ∴AH=AT ∵AG⊥HT  ∴HG=TG ∴HG+CH=GT+DT=GD 设HG=2k，则CH=4k，GD=6k， ∵F为DG中点  ∴GF=DF=3k ∴HF=HG+GF=5k 在△HCF中， 由勾股定理逆定理得∠HCF=90° 过点C作CM⊥HD于点M 解△HCD得tan∠CDF= 12 解△ACE得tan∠CAB= 13 易求OF，OH 由勾股定理逆定理得∠HOF=90° 易求tan∠KHG= 12 tan∠HAG= 13 ∴

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