题目

已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 当 时， 恒成立 ，求 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=mex(x+2)−2x−4=(x+2)(mex−2) . 若 m⩽0 ，则 mex−2<0. 当 x∈(−∞,−2) 时， f′(x)>0; 当 x∈(−2,+∞) 时， f′(x)<0. 所以 f(x) 在 (−∞,−2) 上单调递增，在 (−2,+∞) 上单调递减； 若 m>0 ，令 f′(x)=0 ，解得 x1=−2,x2=ln2m . 当 0<m<2e2 时， x2>x1 ，则 f(x) 在 (−∞,−2) 和 (ln2m,+∞) 上单调递增， 在 (−2,ln2m) 上单调递减； 当 m=2e2 时， x2=x1 ，则 f(x) 在 R 上单调递增； 当 m>2e2 时， x2<x1 ，则 f(x) 在 (−∞,ln2m) 和 (−2,+∞) 上单调递增， 在 (ln2m,−2) 上单调递减. 由题可得 f(0)⩾0 ，即 m⩾2. ①若 2⩽m<2e2,f(x) 在 [−2,+∞) 的最小值为 f(x2) ， 而 f(x2)=2x2+2−x22−4x2−2=−x2(x2+2)⩾0. 所以当 x⩾−2 时， f(x)⩾0 恒成立. ②若 m=2e2,f(x) 在 [−2,+∞) 单调递增， 而 f(−2)=0 ，所以当 x⩾−2 时， f(x)⩾0 恒成立 ③若 m>2e2 ，则 f(−2)=−me−2+2=−e−2(m−2e2)<0 ， 所以当 x⩾−2 时， f(x)⩾0 不可能恒成立 综上所述， m 的取值范围为 [2,2e2] .

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