题目

已知函数   （1） 若 =1时，求函数 的最小值； （2） 若函数  有两个零点，求实数a的取值范围. 答案： 解： a=1 , f(x)=x2−x−lnx ,则 f′(x)=2x−1−1x=(2x+1)(x−1)x(x>0) ，当 0<x<1 时， f′(x)<0 ，函数单调递减，当 x>1 时， f′(x)>0,f(x) 为增， ∴f(x) 在 x=1 处取最小值0. 解：由 f(x)=ax2−x−lnx ，得 f'(x)=2ax−1−1x=2ax2−x−1x(x>0) ， ∴当 a≤0  时， f'(x)=2ax2−x−1x<0, 函数 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减， ∴当 a≤0 时， f(x) 在 (0，+∞)  上最多有一个零点. ∵ f(x) 有两个零点，∴ a>0  . 令 g(x)=2ax2−x−1,  ， Δ=1+8a>0 ，显然 g(x) 有一正根和一负根， ∴ g(x) 在 (0，+∞) 上只有一个零点， 设这个零点为 x0  ，当 x∈(0,x0)  时， g(x)<0,f'(x)<0 ； 当 x∈(x0，+∞) 时， g(x)>0,f'(x)>0 ； ∴函数 f(x) 在 (0,x0) 上单调递减，在 (x0，+∞) 上单调递增， 要使函数 f(x) 在 (0，+∞) 上有两个零点，只需要函数 f(x) 的极小值 f(x0)<0  ， 即 ax02−x0−lnx0<0.∵g(x0)=2ax02−x0−1=0 , ∴ax02−x0−lnx0=12(−2lnx0+2ax02−2x0)=12[−2lnx0+(2ax02−x0−1)−x0+1]   =12(1−x0−2lnx0)<0  ， 可得 2lnx0+x0−1>0.∵h(x)=2lnx+x−1 在 (0，+∞) 上是增函数，且 h(1)=0  ， ∴ x0>1.0<1x0<1,由2ax02−x0−1=0 ， 得 2a=x0+1x02=(1x0)2+1x0=(1x0+12)2−14   ∴ 0<2a<2 ,即 0<a<1 .

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