题目

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值． 答案：解：（Ⅰ）由题意，可得 f（x）= 2sinωxcosωx+23sin2ωx−3 = sin2ωx−3cos2ωx=2sin(2ωx−π3) ．∵函数的最小正周期为π，∴ 2π2ω =π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为 f(x)=2sin(2x−π3) ．令 2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2 ，解之得 kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z ∴函数f（x）的单调增区间是 [kπ−π12，kπ+5π12]，k∈Z ． （Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移 π6 个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+ π6 ）+1的图象，∵ f(x)=2sin(2x−π3) ∴g（x）= 2sin[2(x+π6)−π3] +1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣ 12 ，可得2x= 2kπ+7π6 或2x= 2kπ+11π6(k∈Z) 解之得 x=kπ+7π12 或 x=kπ+11π12(k∈Z) ．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为 4π+11π12=59π12 ．

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