题目

已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）2+y2=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C． （Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知 =m ， =n ，求m+n的值． 答案：解：（Ⅰ）由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4， 故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b= 32−22 = 5 ，∴曲线C的方程为： x29+y25=1 （Ⅱ）由题知F（2，0），若直线AB恰好过原点，则A（﹣3，0），B（3，0），N（0，0），∴ NA→ =（﹣3，0）， AF→ =（5，0），则m= −35 ， NB→ =（3，0）， BF→ =（﹣1，0），则n=﹣3，∴m+n= −185 ．若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，A（ty1+2，y1），B（ty2+2，y2），N（0，﹣ 2t ）．则 NA→ =（ty1+2，y1+ 2t ）， AF→ =（﹣ty1，﹣y1）， NB→ =（ty2+2，y2+ 2t ）， BF→ =（﹣ty2，﹣y2），由 NA→=mAF→ ，得y1+ 2t =m（﹣y1），从而m= −1−2ty1 ；由 NB→=nBF→ ，得y2+ 2t =n（﹣y2），从而n= −1−2ty2 ；故m+n= −1−2ty1 +（ −1−2ty2 ）= −2−2t(1y1+1y2) =﹣2﹣ 2t×y1+y2y1y2 ．联立方程组得： {x=ty+2x29+y25=1 ，整理得（5t2+9）y2+20ty﹣25=0，∴y1+y2=﹣ 20t5t2+9 ，y1y2= −255t2+9 ，∴m+n=﹣2﹣ 2t×y1+y2y1y2 ═ −2−2t×20t25 =﹣2﹣ 85 = −185 ．综上所述，m+n= −185

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