题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB， 为棱PC上一点.(Ⅰ)若点 是PC的中点，证明：B ∥平面PAD； (Ⅱ) 试确定 的值使得二面角 -BD-P为60°. 答案：(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，M Q ，∵点Q是PC的中点 ，∴ M Q ∥CD， MQ=12CD.又AB∥CD， AB=12CD，则QM ∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形. ∴BQ ∥AM.又 AM⊂ 平面PAD，BQ ⊄ 平面PAD， ∴BQ ∥平面PAD.(Ⅱ)解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令 Q(x0，y0，z0)，则PQ⇀=(x0，y0，z0−1)，PC⇀=(0，2，−1).∵PQ⇀=λPC⇀，∴(x0，y0，z0−1)=λ(0，2，−1)，∴Q(0，2λ，1−λ).又易证BC⊥平面PBD， ∴n=(−1，1，0)是平面PBD的一个法向量.设平面QBD的法向量为 m=(x，y，z)，则有{m⋅DB⇀=0，m⋅DQ⇀=0，即{x+y=0，2λy+(1−λ)z=0，解得{x=−y，z=2λλ−1y.令 y=1，则m=(−1，1，2λλ−1).∵二面角Q−BD−P为60∘ ，∴|cos〈m，n〉|=|m⋅n||m||n|=22⋅2+(2λλ−1)2=12，解得 λ=3±6.∵ Q在棱PC上， 0<λ<1，∴λ=3−6.

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