题目

已知函数f（x）=logm （m＞0且m≠1）， （I）判断f（x）的奇偶性并证明； （II）若m= ，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）； （III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1）， ]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案：解：（Ⅰ）f（x）是奇函数；证明如下： 由 x−3x+3>0 解得x＜-3或x＞3， 所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称． ∵ f(−x)=logm−x−3−x+3=logmx+3x−3 = logm(x+3x−3)−1=−f(x) ， 故f（x）为奇函数/ （Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2， f(x1)−f(x2)=logmx1−3x1+3−logmx2−3x2+3 = logm(x1−3)(x2+3)(x1+3)(x2−3) ， ∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3）， 即 (x1−3)(x2+3)(x1+3)(x2−3)<1 ， 当m= 12 时， log12(x1−3)(x2+3)(x1+3)(x2−3)<0 ，即f（x1）＜f（x2）． 故f（x）在（3，+∞）上单调递减． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减． 假设存在β＞α＞0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1）， logmm(α−1) ]． 则有 {logmα−3α+3=logmm(α−1)logmβ−3β+3=logmm(β−1) ，∴ {α−3α+3=m(α−1)β−3β+3=m(β−1) ． 所以α，β是方程 x−3x+3=m(x−1) 的两正根， 整理得mx2+（2m-1）x-3m+3=0在（0，+∞）有2个不等根α和β． 令h（x）=mx2+（2m-1）x-3m+3，则h（x）在（0，+∞）有2个零点， {0<m<1．h(0)>0，−2m−12m>0，h(−2m−12m)<0， 解得 0<m<2−34 ， 故m的取值范围为 (0，2−34) ．

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