题目

已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据： 0 1 2 3 0 0.7 1.6 3.3 为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv ， Q＝0.5v＋a ， Q＝klogav＋b ． （1） 试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2） 该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 答案： 解：若选择函数模型 Q=0.5v+a ，则该函数在 v∈[0，3] 上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型． 若选择函数模型 Q=klogav+b ，须 v>0 ，这与试验数据在 v=0 时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型． 从而只能选择函数模型 Q=av3+bv2+cv ，由试验数据得， {a+b+c=0.7，8a+4b+2c=1.6，27a+9b+3c=3.3， ，即 {a+b+c=0.7，4a+2b+c=0.8，9a+3b+c=1.1， ，解得 {a=0.1，b=−0.2，c=0.8， 故所求函数解析式为： Q=0.1v3−0.2v2+0.8v(0≤v≤3) ． 解：设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元）， 则所需时间为 3v （小时），其中 0<v≤3 ， 结合（1）知， y=3v(0.1v3−0.2v2+0.8v) =0.3[(v−1)2+7] 所以当 v=1 时， ymin=2.1 ． 答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元．

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