题目

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB.以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上. （1）求∠DGF的大小；（2）求证：△FDG≌△EFC；（3）如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积. 答案：解：∵GB＝GD， ∴∠BDG＝∠B＝30°， ∴∠DGF＝30°+30°＝60°；证明：∵∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°， ∵∠EFG＝∠DFE+∠DFG＝∠C+∠FEC，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠DFG＝∠FEC， ∵∠DGF＝60°， ∴∠DGF＝∠C，在△FDG和△EFC中， {∠DGF=∠C∠GFD=∠FECFD=EC ， ∴△FDG≌△EFC（AAS）. 解：∵DE//BC， ∴∠EDF＝∠DFG＝60°，∠DEF＝∠EFC＝60°， ∵∠DGF＝∠C＝60°， ∴△DFG，△EFC都是等边三角形，面积都是2， ∴GD＝GF， ∵GB＝GD， ∴GD＝GF＝BG， ∴△BDG的面积＝△DGF的面积＝2，作DH⊥EF于点H，则∠HDE=∠HDF=30°， ∵DE//BC， ∴∠ADE＝∠C＝30°， ∴∠ADE＝∠HDE，在△ADE和△HDE中 {∠A=∠DHE=90∘∠ADE=∠HDEDE=DE ， ∴△ADE≌△HDE， ∴△ADE的面积＝△HDE的面积＝1， ∴△ABC的面积＝2+2+2+2+1＝9.

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