题目

已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4． （1） 若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域； （2） 若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[-1，a]上的最大值． 答案： 解：根据题意，函数 f(x)=x2−2(a−1)x+4 为二次函数 其对称轴为 x=a−1 ， 若 f(x) 为偶函数，则 a−1=0 ，解可得 a=1 ； 则 f(x)=x2+4 ， 所以 f(x) 在 x∈[−1,0] 上单调递减，在 x∈[0,2] 上单调递增 所以 f(x) 在 x=0 取得最小值为 f(x)min=f(0)=4 ， 在 x=2 取得最大值为 f(x)max=f(2)=8 ， 所以 f(x) 值域为 [4,8] . 解：根据题意，函数 f(x)=x2−2(a−1)x+4 为二次函数， 其对称轴为 x=a−1 ， 若 f(x) 在区间 (−∞,2] 上是减函数， 则 a−1≥2 ，则 a≥3 ； 又由 1<a−1<a ， 则 f(x) 在区间 [−1,a−1] 上递减，在 [a−1,a] 上递增， 而 f(−1)=3+2a ， f(a)=−a2+2a+4 ， f(−1)−f(a)=(3+2a)−(−a2+2a+4) =a2−1>0 则 f(x) 在 [−1,a] 上的最大值为 f(−1)=3+2a

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