题目

已知函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 当 时， ，求 的取值范围. 答案： 解： f′(x)=(ax−2+a)ex ，当 a=0 时， f′(x)=−2ex<0 ，∴ f(x) 在 R 上单调递减.当 a>0 时，令 f′(x)<0 ，得 x<2−aa ；令 f′(x)>0 ，得 x>2−aa .∴ f(x) 的单调递减区间为 (−∞，2−aa) ，单调递增区间为 (2−aa，+∞) .当 a<0 时，令 f′(x)<0 ，得 x>2−aa ；令 f′(x)>0 ，得 x<2−aa .∴ f(x) 的单调递减区间为 (2−aa，+∞) ，单调递增区间为 (−∞，2−aa) . 解：当 a=0 时， f(x) 在 (1，+∞) 上单调递减，∴ f(x)<f(1)=0 ，不合题意.当 a<0 时， f(2)=(2a−2)e2−e(a−2)=a(2e2−e)−2e2+2e<0 ，不合题意.当 a≥1 时， f′(x)=(ax−2+a)ex>0 ， f(x) 在 (1，+∞) 上单调递增，∴ f(x)>f(1)=0 ，故 a≥1 满足题意.当 0<a<1 时， f(x) 在 (1，2−aa) 上单调递减，在 (2−aa，+∞) 单调递增，∴ f(x)min=f(2−aa)<f(1)=0 ，故 0<a<1 不满足题意.综上， a 的取值范围为 [1，+∞) .

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