题目

如图所示，三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为4,的正三角形， 是顶角   的等腰三角形，点 为 上的一动点． （1） 当 时，求证： ； （2） 当直线 与平面 所成角为 时，求二面角 的余弦值. 答案： 证明；取 BC 中点为 M ，连接 MA ， MP ， 由 ΔABC 为正三角形知 BC⊥AM ， 在 ΔBCD 中 BD=43 ，可得 BP=13BD=433 ， ΔBMP 中，由余弦定理可得 MP2=BM2+BP2−2⋅BM⋅BP⋅cos30°=43 ， 从而 MP2+BM2=4+43=163=BP2 ，即 BC⊥MP ， 所以 BC⊥ 平面 AMP ， 于是 BC⊥   AP ，即 AP⊥   BC ； 解：由（1）知 AM⊥ 平面 BCD ，则 AP 与平面 BCD 的夹角为 ∠APM=60° ， 在直角 ΔAPM 中，可得 PM=2 ，则点 P 为线段 BD 的中点， 以点 M 为坐标原点， MB,MQ,MA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（由（1）知点 Q 为靠近 B 的三等分点）, 则点 A(0,0,23),B(2,0,0),C(−2,0,0),Q(0,233，0) ， 从而 AC⇀=(−2，0，−23) ， AB⇀=(2，0，−23) ， BQ⇀=(−2，233，0) ， 于是 AP⇀=AB⇀+BP⇀=AB⇀+12BD⇀=AB⇀+32BQ⇀=(−1,3,−23) ， 设平面 PAC 的一个法向量为 m⇀=(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅AC⇀=0m⇀⋅AP⇀=0  ，即 {x+3z=0x−3y+23z=0  ，不妨取 z=1 ，得 m⇀=(−3,1,1) ， 又平面 ABC 的一个法向量为 MQ⇀=(0,233，0) ， 从而 cos〈MQ⇀,m⇀〉=MQ⇀⋅m⇀|MQ|⇀⋅|m⇀|=2335⋅233=55 ， 故二面角 P−AC−B 的余弦值为 55 .

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