题目

如图，AB＝AC ， ∠BAC＝90°，过点C作直线l⊥AC ， 点D ， E是直线1上的动点（D在E的右侧），且满足DE＝AB ， 连接BD ， ∠ABD的平分线与射线AE交于点F ， 与射线AC交于点G ． （1） 如图1，当点C在线段DE上，且∠CAE＝30°时，若AB＝3，求线段EF的长； （2） 如图2，当点D在点C的左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AG ， CD ， EF的数量关系，并证明． 答案： 解： ∵l⊥AC,∠CAB=90°, ∴l//AB,∠ACE=90°,   ∵AB=AC=3=DE,∠CAE=30°，   ∴cos∠CAE=ACAE=cos30°=32,∠AEC=60°,   ∴AE=23,   经检验： AE=23 符合题意， ∵DE=AB,DE//AB,   ∴  四边形 AEDB 是平行四边形， ∴∠ABD=∠AEC=60°,   ∵BF 平分 ∠ABD, ∴∠ABF=12∠ABD=30°,   ∵∠BAF=∠BAC+∠CAE=120°,   ∴∠AFB=180°−120°−30°=30°=∠ABF，   ∴AB=AF=3,   ∴EF=AE−AF=23−3. 解：①根据题意画出图形如下： ② EF=DC+AG, 理由如下： 过 A 作 AH⊥BF 于 H, 交 BD 于 M, 交 l 于 N, ∴∠BHM=∠BHA=90°,   ∵BF 平分 ∠ABD, ∴∠ABH=∠MBH,   ∴∠BAH=∠BMH,   ∴BA=BM,   由（1）得： ▱ABDE, ∴AF//BM,   ∴∠AFB=∠MBF=∠ABF,   ∴AF=AB,   ∴AF=BM,   ∴  四边形 ABMF 是菱形， ∴FM//AB,FM=AB,   ∴FM//DE,FM=DE, ∴  四边形 EFMD 是平行四边形， ∴EF=DM,   ∵DE//AB,   ∴∠DNM=∠BAM,   ∵∠BMA=∠DMN,∠BMA=∠BAM,   ∴∠DNM=∠DMN,   ∴DM=DN,   ∵∠ACN=∠CAB=90°，   ∴∠CAN+∠CNA=90°=∠CAN+∠HAB,   ∴∠CAN=∠GBA,   ∵AC=AB,   ∴△ACN≌△BAG,   ∴CN=AG,   ∴DN=DC+CN=DC+AG,   ∴EF=DC+AG.

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