题目

如图1，已知 、 为圆O的两条直径，连接 ，过点O作 于点E，取半径 的中点F，连接 ，设 （1） 如图2，若圆O的半径为3， 时 ①求证： 是等腰三角形． ②求图中阴影部分的面积 （2） 在（1）的条件下试确定经过A，B，F三点的圆的圆心位置和半径大小． （3） 连接 ，是否存在某个 的值，使得 与 相等？若存在，求出此时 的值：若不存在，请说明理由． 答案： 解：①∵ OE⊥AB ， α=30° ， ∴ OE=12OA=32 ， ∵点F是半径 OC 的中点， ∴ OF=12OC=32 ∴ OE=OF ， ∴ △OEF 是等腰三角形； ②∵ ∠BAC 和 ∠BOC 所对的弧都是 BC ， ∴ ∠BOC=2∠BAC=60° ， ∴ ∠AOB=180°−∠BOC=120° ， AE=3⋅OE=323 ， 由 OE⊥AB 得 AB=2AE=33 ， S弓形=S扇形AOB−S△AOB=120π×32360−12×33×32=3π−934 ， ∴ S阴影=S半圆−S弓形=12π×32−(3π−934)=6π+934 解：连接 BC ， ∵ OE⊥AB ， ∴ AE=EB 即点E是 AB 的中点 由（1）知 ∠BOC=60° ， ∵ OC=OB ， ∴ △OCB 是等边三角形， ∵点F是半径 OC 的中点， ∴ BF⊥AC ， ∴ ∠AFB=90° ， ∵点E是 AB 的中点， ∴ EF=AE=BE=12AB ． ∴经过点A、B、F三点的圆的圆心是点E 半径 AE=AO⋅cos30°=332 解：过点 F 作 FG⊥AB 于 G ，连接 BF ． ∵ FG//OE ， ∴ AEEG=AOOF=2 ， ∴ AE=2EG=EB ， ∴ FG 是 EB 的垂直平分线， ∴ EF=FB ， ∵ DF=EF ， ∴ DF=BF ， ∵ DO=OB ， ∴ FO⊥BD ， ∴ ∠AOB=90° ， ∵ OA=OB ， ∴ △AOB 是等腰直角三角形， ∴ ∠BAC=45° ． ∴ cosα=22

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