题目

如图，抛物线y=﹣ x2+bx+e与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（9，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标．答案：解：∵a=﹣ 29 ，抛物线与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），∴可以假设抛物线解析式为y=﹣ 29 （x+3）（x﹣9）=﹣ 29 x2+ 43 x+6，∴抛物线解析式为y=﹣ 29 x2+ 43 x+6 解：∵y=﹣ 29 x2+ 43 x+6=﹣ 29 （x﹣3）2+8，∴顶点D坐标（3，8），∵AD=DB=10，∴∠DAB=∠DBA，∵PQ∥BD，∴∠PQA=∠DBA，∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ，∴△PAQ为等腰三角形，作PH⊥AQ于H，则AH=HQ= m2 （如图1中），∴tan∠DAB= PHAH = 86 ，∴PH= 23 m，∴S=S△ADQ﹣S△APQ= 12 •m•8﹣ 12 •m• 23 m=﹣ 13 m2+4m=﹣ 13 （m﹣6）2+12，∴当m=6时，S最大值=12 解：∵E（ 32 ，0），F（6，6），∴直线EF解析式为y= 43 x﹣2，直线AD解析式为y= 43 x+4，∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如图2中）∵AE= 92 ，sin∠DAB= 45 ，∴LE= 92 × 45 = 185 =PM，①PM=PN= 185 时，∴xP=3﹣ 185 =﹣ 35 ，yP=﹣ 45 × 35 +4= 165 ，∴P（﹣ 35 ， 165 ），∴直线PM解析式为y=﹣ 34 x+ 114 ，由 {y=−34x+114y=43x−2 ，解得 {x=5725y=2625 ，∴点M（ 5725 ， 2625 ）∴EM= (5725−32)2+(2625)2 = 1310 ．②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K（3，2），此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK，∴N（3，5），P（ 34 ，5），∴直线PM的解析式为y=﹣ 34 x+ 8916 ，由 {y=43x−2y=−34x+8916 ，解得 {x=362100y=7125 ，∴M（ 363100 ， 7125 ），∴EM= (363100−32)2+(7125)2 = 7120 ，③PM=MN时，cos∠MPN= 45 = 12PNPM ，∴PN= 14425 ，由此可得P（﹣ 6925 ， 825 ），∴直线PM解析式为y=﹣ 34 x﹣ 74 ，由 {y=43x−2y=−34x−74 解得 {x=325y=−4625 ，∴M（ 325 ，﹣ 4625 ），∴EM= (325−32)2+(4625)2 = 2310 ．综上所述，EM= 1310 或 7120 或 2310 ．

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