题目

折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图）， 步骤1：设圆心是 ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕． 所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸. （1） 建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程； （2） 求经过 ，且与直线 夹角为 的直线被椭圆截得的弦长. 答案： 解：如图，以FO所在的直线为x 轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系， 设 P(x,y) 为椭圆上一点，由题意可知 |PF|+|PO|=|AO|=4 且 |FO|=2 ， 所以P点轨迹以F，O为左右焦点，长轴长 2a=4 的椭圆， 因为 2c=2,2a=4 ，所以 c=1,a=2 ， b2=a2−c2=3 ， 所以椭圆的标准方程为 x24+y23=1 解：如图，不妨令过 F(−1,0) 的直线交椭圆于C，D且倾斜角 45° ， 所以直线 CD:y=x+1 ，设 C(x1,y1),D(x2,y2) ， 联立 {3x2+4y2=12y=x+1 ，消元得 7x2+8x−8=0 ， Δ>0 ， 所以 x1+x2=−87,x1x2=−87 ， 所以 |CD|=1+1⋅(x1+x2)2−4x1x2=2×(−87)2+4×87=247

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