题目

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F. （1） 判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若AD＝8，AE＝10，求BD的长. 答案： 解：BC与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴BC是⊙O切线； 解：连接DE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠EAD＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， ∴ AEAD=ADAC ， 108=8AC ， ∴AC =325 ， ∴CD =AD2−AC2=82−(325)2=245 ， ∵OD⊥BC，AC⊥BC， ∴△OBD∽△ABC， ∴ ODAC=BDBC ， ∴ 5325=BDBD+245 ， ∴BD =1207

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