题目

如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上. （1） 求该抛物线的表达式. （2） 正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标. （3） 在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值. 答案： 解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，点A(-1，0)，点B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得{a−b+c=09a+3b+c=0c=2，解得{a=−23b=43c=2，∴该抛物线的表达式为y=−23x2+43x+2； 解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分两种情况：①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴点P的坐标为(1，0)；②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2，∴正方形OPDE的边长为2，∴点P的坐标为(2，0)；综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)； 解：①点P的坐标为(1，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，1为半径的圆上运动，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；②点P的坐标为(2，0)时，∵△PQD'与△PQD关于PQ对称，∴PD'=PD，∴点D'在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，当P、C、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；综上，线段CD'长度的最小值为1.

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