题目

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F． （1） 求抛物线解析式； （2） 如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）①求点F的坐标；②求线段OD的长；③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． （3） 在点D的运动过程中，连接CM，若△COD∽△CFM，请直接写出线段OD的长． 答案： 解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C的坐标代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣ 35 ．∴抛物线的解析式为y=﹣ 35 x2+ 125 x+3 解：①∵CF⊥l，OB⊥l，∴CF∥x轴．∴点F的纵坐标为3．将y=3代入抛物线的解析式得：﹣ 35 x2+ 125 x+3=3，解得x=0或x=4．∴点F的坐标为（4，3）．②∵点F的坐标为（4，3），∴点H的坐标为（4，0）．∵∠CDE=90°，∴∠CDO+∠EDH=90°．∵∠OCD+∠CDO=90°，∴∠OCD=∠EDH．由旋转的性质可知：CD=DE．在Rt△OCD和Rt△HDE中， {∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHECD=DE ，∴Rt△OCD≌Rt△HDE．∴CO=DH=3．又∵OH=4，∴OD=1．③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．∵四边形CDEN为正方形，∴∠GDE=45°．设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得： {k+b=03k+b=4 ，解得：k=2，b=﹣2．∴DN的解析式为y=2x﹣2．把x=4代入得：y=6，∴G（4，6）．设直线DG′的解析式为y=﹣ 12 x+c，将点D的坐标代入得：﹣ 12 +c=0，解得：c= 12 ．∴直线DG′的解析式为y=﹣ 12 x+ 12 ．将x=4代入得：y=﹣ 32 ．∴点G′的坐标为（4，﹣ 32 ）．综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，﹣ 32 ） 解：如图2所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣ 35 a2﹣ 65 a+ 245 ）．∴FM=﹣ 35 a2﹣ 65 a+ 95 ．∵△COD∽△CFM，∴ OCDO = CFFM ，即 3a = 3+a−35a2−65a+95 ，整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a= 914 或a=﹣3（舍去）．∴OD= 914 ．如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣ 35 a2﹣ 65 a+ 245 ）．∴FM= 35 a2+ 65 a﹣ 95 ．∵△COD∽△CFM，∴ OCDO = CFFM ， 3a = a+335a2+65a−95 ，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a= 94 ．∴OD= 94 ．综上所述，OD的长为 914 或 94

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