题目

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H. （1） 求DE的长； （2） 求证：∠1＝∠DFC. 答案： 解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴ AC=AB2+BC2 ＝ 32+42 ＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴ ADCF=DECE ，设DE＝x，则 35=x4−x ，解得x＝ 32∴ DE=32 ； 证明：∵AD∥FH，AF∥DH， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∴AD＝FH＝3， ∴CH＝2，BH＝5， ∵AD∥BH， ∴△ADG∽△HBG， ∴ DGBG=ADBH ， ∴ DG5−DG=35 ， ∴DG＝ 158 ， ∵DE＝ 32 ， ∴ DEDG=DCDB ＝ 45 ， ∴EG∥BC， ∴∠1＝∠AHC， 又∵DF∥AH， ∴∠AHC＝∠DFC， ∠1＝∠DFC.

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