题目

如图，已知抛物线y＝ (a ) 的图象与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0 ， -3），其顶点D（1，-4）. （1） 求二次函数的表达式； （2） 如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H ， 交BC于N ， 求线段MN最大时点M的坐标；   （3） 在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q ， 使得∠QCB＝∠CBM ?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 设抛物线y＝ a(x−1)2−4 过点C（0，-3） ∴-3=  a （ 0−1）2−4     a =1 ∴ y=x2−2x−3 ∵ y=x2−2x−3          =(  x -3)(  x +1) ∴B（3，0）  A（-1，0） 设 yBC=kx+b 过B（3，0）， C（0， −3 ）    0=3k-3   k=1 ∴ yBC=x−3   设M（t， t2−2t−3 ）,则N（ t，t−3）   MN= -（ t2−2t−3)+（t−3）       =- t2 +3t = −(t−32)2+94 ∴当t= 32 时，MN最大= 94   y= （32）2−2×32−3 = -154 ∴M（ 32 ， −154 ） Q1 （ 92 ， 334 ），  Q2 （ 125 ， −5125 ） ①当点Q在直线BC上方时，有∠QCB＝∠CBM ∴QC∥BM 设 yBM=kx+b 过M（ 32 ， −154 ），B（3，0） ∴ yBM=52x−152 ∵ kBM   =kQC=52   ∴ yQC=52x−3   ∴ {yQC=52x−3y=x2−2x−3 52 x-3= x2−2x−3 解得： x1=0 （舍去）  x2=92   则 y= 334 ∴ Q1 （ 92 ， 334 ） ②当点Q在直线BC下方时，有∠QCB＝∠CBM， 设QC与BM交于E，则EC=EB 又∵OC=OB=3 ∴OE垂直平分BC 设OE与BC交于F，则 F（ 3+0，2，0−32 ） 即F（ 32 ， −32 ）   yOF=kx 过F（ 32 ， −32 ）， 则 yOF=−x         yOF=−x  与 yBM=52x−152 交于E，E（ 157 ， −157 ） ∴ yCE=kx+b 过C（0，-3）, E（ 157 ，-  157 ） ∴ yCE=25x−3 ∴ {yCE=25x−3y=x2−2x−3 即 25 x-3= x2−2x−3 解得： x1=0舍去，   x2=125 则y= −5125 ∴ Q2 （ 125 ， −5125 ） 综上所述： Q1 （ 92 ， 334 ），  Q2 （ 125 ， −5125 ）

查看本题答案和解析