题目

在平面直角坐标系上，有一点列P0 ， P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn﹣1 ， Pn ，设点Pk的坐标（xk ， yk）（k∈N，k≤n），其中xk、yk∈Z，记△xk=xk﹣xk﹣1 ， △yk=yk﹣yk﹣1 ，且满足|△xk|•|△yk|=2（k∈N* ， k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△xk=1（k∈N* ， k≤n），且{yk}（k∈N，k≤n）是递增数列，点Pn在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．答案：解：∵xk∈Z，yk∈Z，∴△xk，△yk∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴ {Δx1=1Δy1=2 ，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）解：∵ x0=0,Δxk=1(k∈N*,k≤n) ， ∴xn=x0+△x1+△x2+…+△xn=n，又|△xk|•|△yk|=2，△xk=1，∴△yk=±2，（k∈N*，k≤n），∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn，{yk}（k∈N，k≤n）是增数列，∴ Δyk=2(k∈N*,k≤n) ，∴yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn=1+2n，∴pn（n，1+2n），将Pn（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．解：∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn， ∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设Tn=x0+x1+x2+…+xn=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△xn）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn，∵n=2016是偶数，n＞100，Tn=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△yn﹣1=1，△yn=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△xn=2时，（取法不唯一）（Tn）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272

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