题目

在平面直角坐标系中，已知 的方程为 ，平面内两定点 、 ．当 的半径取最小值时： （1） 求出此时 的值，并写出 的标准方程； （2） 在 轴上是否存在异于点 的另外一个点 ，使得对于 上任意一点 ，总有 为定值？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明你的理由； （3） 在第（2）问的条件下，求 的取值范围． 答案： 解：⊙C的标准式为： (x−m)2+[y−(m−5)]2+10m−29=2(m−5)2+4 ， 当 m=5 时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为 (x−5)2+y2=4 解：设 P(x，y) ，定点 F(m，0) （m为常数），则 λ2=|PE|2|PF|2=(x−1)2+y2(x−m)2+y2 ．∵ (x−5)2+y2=4 ，∴ y2=4−(x−5)2 ，代入上式，  得： λ2=(x−1)2+4−(x−5)2(x−m)2+4−(x−5)2=8x−20(10−2m)x−(21−m2) ．由于λ取值与x无关，∴ 810−2m=2021−m2⇒m=4 （ m=1 舍去）．此时点F的坐标为 (4，0) ， λ2=4 即 λ=2 解：由上问可知对于⊙C上任意一点P总有 |PF|=12|PE| ，故 2|PG|−|PE|=2(|PG|−12|PE|)=2(|PG|−|PF|) ， 而 ||PG|−|PF||≤|FG| （当P、F、G三点共线时取等号）， 又 |FG|=52 ，故 2|PG|−|PE|∈[−5，5] ．∴ μ=4|PG|2−|PE|2−4|PE|2|PG|−|PE|−2−2|PE|=(2|PG|)2−(|PE|+2)2+42|PG|−|PE|−2−2|PE| =(2|PG|+|PE|+2)(2|PG|−|PE|−2)+42|PG|−|PE|−2−2|PE|=(2|PG|−|PE|−2)+42|PG|−|PE|−2+4 ，令 t=2|PG|−|PE|−2(t∈[−7，0)∪​(0，3]) ，则 μ=t+4t+4 ，根据对勾函数的单调性可得： μ∈(−∞，0]∪​[8，+∞)

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