题目

如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.用空间向量进行以下证明和计算: (1)求证:平面; (2)求二面角的正弦值; (3)求点到平面的距离. 答案：略 第20题解析 (1)取中点为原点,为轴,在平面内过作的平行线为轴,为轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,,,, ,,,, ∴,,∴,, 又,∴平面. (2)∵平面,∴是平面的法向量, 设平面的法向量,,, 则,取,得, 设二面角的平面角为,则, ∴,∴二面角的正弦值为. (3)是平面的法向量,向量, ∴点到平面的距离为.

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