题目

将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点. （1） 求抛物线H的表达式； （2） 如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值； （3） 如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 答案： 解：由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4， 将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4； 解：如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴ {−3m+n=0n=3 ， 解得： {m=1n=3 ， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3）， ∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ 32 ）2+ 34 ， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣ 32 时，PE有最大值 34 ， ∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°， ∵PD⊥AB， ∴∠ADP＝90°， ∴∠ADP＝∠AOC， ∴PD∥OC， ∴∠PEF＝∠ACO＝45°， ∵PF⊥AC， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PF＝EF＝ 22 PE， ∴S△PEF＝ 12 PE•EF＝ 14 PE2， ∴当m＝﹣ 32 时，S△PEF最大值＝ 14 ×（ 34 ）2＝ 964 ； 解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC， 如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H， 则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG， 在△PQG和△ACO中， {∠PGQ=∠AOC∠PGQ=∠ACOPQ=AC ， ∴△PQG≌△ACO（AAS）， ∴PG＝AO＝3， ∴点P到对称轴的距离为3， 又∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设点P（x，y），则|x+1|＝3， 解得：x＝2或x＝﹣4， 当x＝2时，y＝﹣5， 当x＝﹣4时，y＝﹣5， ∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）； ②当AC为平行四边形的对角线时， 如图3，设AC的中点为M， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴M（﹣ 32 ， 32 ）， ∵点Q在对称轴上， ∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x， 根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣ 32 ）＝﹣3， ∴x＝﹣2，此时y＝3， ∴P（﹣2，3）； 综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）.

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