题目

直角三角形 中， ，直线 过点 ． （1） 当 时，如图①，分别过点 、 作 于点 ， 于点 ．求证： ． （2） 当 ， 时，如图②，点 与点 关于直线 对称，连接 、 ，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 边向终点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿 向终点 运动，点 、 到达相应的终点时停止运动，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设运动时间为 秒． ①用含 的代数式表示 ． ②直接写出当 与 全等时 的值． 答案： 证明：△ACD与△CBE全等． 理由如下：∵AD⊥直线l， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， {∠ADC＝∠CEB∠DAC＝∠ECBAC＝BC ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； 解：①由题意得，AM=t，FN=3t， 则CM=8-t， 由折叠的性质可知，CF=CB=6， ∴CN=6-3t； ②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE， ∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°， ∴∠NCE=∠CMD， ∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等， 当点F沿F→C路径运动时，8-t=6-3t， 解得，t=-1（不合题意）， 当点F沿C→B路径运动时，8-t═3t-6， 解得，t=3.5， 当点F沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t， 解得，t=5， 当点F沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18， 解得，t=6.5， 综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．

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