题目

类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，请看下面的案例． （1） 如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边，在BC同侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．通过证明△　ADC　≌△　ABE　，得到DC=BE； （2） 如图2，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，我们称四边形EFGH为四边形ABCD的中点四边形，连接BD，利用三角形中位线的性质，可得EH∥BD，EH= BD，同理可得FG∥BD，FG= BD，所以EH∥FG，EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形；拓展应用①如图3，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想四边形EFGH的形状，并证明； （3） 若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，四边形EFGH的形状是． 答案： 解：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC和△ABE中{AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE 证明：四边形EFGH为菱形；理由如下：连接AC、BD，如图3，∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+APD=∠CPD+∠APD，即∠BPD=∠APC，在△PBD和△APC中{PB=PA∠BPD=∠APCPD=PC ，∴△PBD≌△APC，∴BD=AC，∵HG= 12 AC，HE= 12 BD，∴HG=HE，∵四边形HEFG为平行四边形，∴四边形EFGH为菱形 【1】正方形

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