题目

如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD= AB.于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”. 请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题： （1） △ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，AB= ，则BC=； （2） 如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=. （3） 如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=. （4） 如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由. 答案： 【1】a2 【1】15 【1】3:1 BP=2PQ.理由如下： ∵△ABC为等边三角形. ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中， {AE=CD∠BAC=∠ACBAB=AC ， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD. ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ.

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