题目

如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2． （1） 求sin∠ABC的大小； （2） 设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少． 答案： 解：在△ABC中，cos∠ABC= 900+4900−64002×30×70 =﹣ 17 所以sin∠ABC= 437 解：在△ABD中，由 30sinθ=AD437=BD−17sinθ+437cosθ 得： AD= 12037sinθ ，BD= 1203cosθ7sinθ ﹣ 307 设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+ 67 + 2437 ﹣ 2−cosθsinθ ）令H（θ= 2−cosθsinθ ，则H′（θ）= 2−cosθsin2θ ．当0＜θ＜ π3 时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当 π3 ＜θ＜ π2 时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增∴θ= π3 时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值．此时BD= 907 ，满足0＜ 907 ＜70，所以点D落在BC之间所以θ= π3 时，运输总成本最小．答：θ= π3 时，运输总成本最小

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