题目

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，其中BC＝8cm，AB＝16cm，点P是BC边上的点，BP＝3cm.动点Q从点A出发，沿着射线AB匀速运动，运动速度为2cm/s，运动时间为ts，连接CQ和QP. （1） 当t＝5s时，求CQ的长； （2） 在点Q的运动过程中，当△ACQ为等腰三角形时，求t的值； （3） 在点Q的运动过程中，当t为何值时，QP平分∠CQB？ 答案： 解：当t＝5s时，AQ＝10（cm）， ∵AB＝16cm， ∴BQ＝AB﹣AQ＝16﹣10＝6（cm）， ∵∠B＝90°，BC＝8cm， ∴CQ＝ BC2+BQ2 ＝ 82+62 ＝10（cm） 解：当AQ＝CQ时，设AQ＝CQ＝xcm. 在Rt△CQB中，CQ2＝BQ2+BC2， ∴x2＝（16﹣x）2+82， ∴x＝10， ∴t＝ 102 ＝5. 当AQ＝AC时， ∵AC＝ AB2+BC2 ＝ 162+82 ＝8 5 （cm）， ∴AQ＝8 5 （cm）， ∴t＝ 852 ＝4 5 ， 当CQ＝CA时，t＝16， 综上所述，满足条件的t的值为5或4 5 或16； 解：如图，过点P作PT⊥CQ于点T. 在△QPB和△QPT中， {∠B=∠QTP∠PQB=∠PQTOP=OP ， ∴△QPB≌△QPT（AAS）， ∴BQ＝QT，PB＝PT＝3（cm）， ∵BC＝8cm， ∴PC＝BC﹣PB＝5（cm）， ∵∠CTP＝90°， ∴CT＝ PC2−PT2 ＝ 52−32 ＝4（cm）， ∴16﹣2t+4＝ 82+(16−2t)2 ， 解得t＝5. ∴t＝5时，QP平分∠BQC， 根据对称性，当点Q在AB的延长线上时，t＝11时，也满足条件. 综上所述，满足条件的t的值为5或11.

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