题目

已知椭圆 上任取一点 ，过 作 轴的垂线段 为垂足，动点的 满足 . （1） 求 的轨迹方程 ； （2） 直线 与 相交于 两点，当弦 最短时，求直线 的方程. 答案： 解：设点 A(x,y) ， D(x,0) ，由条件可知点 P 是 AD 的中点，即 P(x,y2) ， 将点 P 代入椭圆方程， x24+y24=1 ， 即 x2+y2=4 ， 则动点 A 的轨迹方程是 x2+y2=4 ，是以原点为圆心， r=2 的圆； 解：直线 l:mx+y+m−1=0 ，变形为 m(x+1)+(y−1)=0 ， 直线过定点 N(−1,1) ，当点 N(−1,1) 是线段 BC 的中点时，此时弦 |BC| 最短， 此时 kON=1−0−1−0=−1 ，所以直线 BC 的斜率 k=1 ， 则直线 l 的方程 y−1=x+1⇒x−y+2=0 .

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