题目

综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|） （1） 解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1； （2） 设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|） 答案： 解：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当0≤x＜ 12 时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜ 12 ，此时其解集为{x|0＜x＜ 12 }．③当x≥ 12 时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得 12 ≤x＜2，又由x≥ 12 ，此时其解集为{x| 12 ≤x＜2}，综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． 证明：∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

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