题目

已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，其中O为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点．求直线 的方程． 答案：解：（Ⅰ） ∵ 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的一个顶点为 A(0,−3) ， ∴ b=3 ， 由 |OA|=|OF| ，得 c=b=3 ， 又由 a2=b2+c2 ，得 a2=32+32=18 ， 所以，椭圆的方程为 x218+y29=1 ； （Ⅱ） ∵ 直线 AB 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 CP⊥AB ， 根据题意可知，直线 AB 和直线 CP 的斜率均存在， 设直线 AB 的斜率为k，则直线 AB 的方程为 y+3=kx ，即 y=kx−3 ， {y=kx−3x218+y29=1 ，消去 y ，可得 (2k2+1)x2−12kx=0 ，解得 x=0 或 x=12k2k2+1 . 将 x=12k2k2+1 代入 y=kx−3 ，得 y=k⋅12k2k2+1−3=6k2−32k2+1 ， 所以，点 B 的坐标为 (12k2k2+1,6k2−32k2+1) ， 因为P为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为 (0,−3) ， 所以点P的坐标为 (6k2k2+1,−32k2+1) ， 由 3OC→=OF→ ，得点 C 的坐标为 (1,0) ， 所以，直线 CP 的斜率为 kCP=−32k2+1−06k2k2+1−1=32k2−6k+1 ， 又因为 CP⊥AB ，所以 k⋅32k2−6k+1=−1 ， 整理得 2k2−3k+1=0 ，解得 k=12 或 k=1 . 所以，直线 AB 的方程为 y=12x−3 或 y=x−3 .

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