题目

如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒． （1） 连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，用含t的代数式表示C点坐标； （2） 在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？ 答案： 解：由题意得：AQ=BP=t， ∴OQ=OA﹣AQ=8﹣t，∵CQ⊥AO，BO⊥AO，∴CQ∥BO，∴△ACQ∽△ABO，∴ CQBO=AQAO ，∴ CQ6=t8 ，∴CQ= 34 t，∴C（8﹣t， 34 t） 解：①当CP=CQ时，如图1， 在Rt△ACQ中，AC= CQ2+AQ2 = (34t)2+t2 = 54 t，在Rt△AOB中，AB=10，∴PC=AB﹣PB﹣AC=10﹣t﹣ 54 t，∴ 34 t=10﹣t﹣ 54 t，t= 103 ，②当CP=PQ时，如图2，过P作PD⊥CQ于D，∴CD=DQ，∵PD∥AQ，∴CP=PA，由①得：AC= 54 t，∴AP= 12 AC= 58 t，∴ 58t =10﹣t，t= 8013 ，③当CQ=CP时，如图3，∵CQ=CP= 34 t，∴AP=AC﹣CP= 54 t﹣ 34 t= t2 ，∴ t2 =10﹣t，t= 203 ；④当CQ=PQ时，如图4，过Q作QE⊥AB于E，cos∠QCA=cos∠OBA，∴ BOAB=CECQ ，∴ 610=CE34t ，∴CE= 920t ，∴CE=PE= 920t ，∵AC=CP+AP= 54 t，∴ 920t + 920t +10﹣t= 54 t，t= 20027 ；综上所述，当t为 103 或 8013 或 203 或 20027 时，△CPQ为等腰三角形．

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