题目

已知数列 为等差数列，且 ， 的部分项组成等比数列 ，其中 ，若 ， ， ， （1） 求 ； （2） 若 ，求数列 的前 项和 。 答案： 解：由 k1=1 ， k2=5 ， k3=17 ，知 a1(a1+16d)=(a1+4d)2， 得 a1=2d 从而 an=(n+1)d ，所以 b1=a1=2d ， b2=a5=6d ,则等比数列 {bn} 的公比为3. akn=a1+(kn−1)d=2d⋅3n−1 所以 kn=2⋅3n−1−1 解： a1=2 ，则 an=n+1 ， Sn=2[2+3⋅3+4⋅32+…+(n+1)⋅3n−1]−n(n+3)2 令 Tn=2+3⋅3+4⋅32+…+(n+1)⋅3n−1 ，① 3Tn=   2⋅3+3⋅32+…+n⋅3n−1+(n+1)⋅3n    ② 由①-② −2Tn=2+3+32+…+3n−1−(n+1)⋅3n=1+1−3n1−3−(n+1)⋅3n Tn=(2n+1)3n−14   所以 Sn=2Tn−n(n+3)2=(2n+1)⋅3n−(n2+3n+1)2

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