题目

在如图所示的四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， 为 的中点. （1） 证明： 平面 ； （2） 若 ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 答案： 设 BD 交 AC 于点 O ，连接 EO ， ∵ O 为 BD 中点， E 为 PD 中点，∴ EO//PB . ∵ EO⊂ 平面 ACE ， PB⊄ 平面 ACE ， ∴ PB// 平面 ACE . 如图，以 A 为坐标原点， AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0，0，0) ， C(2，1，0) ， B(2，0，0) ， E(0，12，12) ， 则 AC→=(2，1，0) ， AE→=(0，12，12) ， ∵ PA⊥ 平面 ABCD ，∴平面 ABC 的一个法向量 n0→=(0，0，1) . 设平面 AEC 的法向量为 n→=(x，y，z) ， 则 {n⇀⋅AE⇀=0n⇀⋅AC⇀=0 ，即 {12y+12z=02x+y=0 ， 令 x=1 ，则 y=−2 ， z=2 ，∴ n→=(1，−2，2) . ∴ ∴cos〈n0→，n→〉=n0→⋅n→|n0→|⋅|n→|=23 ， ∴平面 ABC 与平面 AEC 的夹角的余弦值为 23 .

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