题目

已知函数 在 处取得极大值. （1） 求 的值； （2） 若 ，证明： 有且只有3个零点. 答案： 由题意， f′(x)=3x2−4ax+a2 且 f′(1)=0 ， ∴ a2−4a+3=0 ，解得 a=1 或 3 . 当 a=1 时， f′(x)=3x2−4x+1 ，则 f′(x)>0 有 x<13 或 x>1 ； f′(x)<0 有 13<x<1 ； ∴ f(x) 极小值为 f(1) ，不合题意. 当 a=3 时， f′(x)=3x2−12x+9 ，则 f′(x)>0 有 x<1 或 x>3 ； f′(x)<0 有 1<x<3 ； ∴ (−∞，1) 上 f(x) 递增， (1，3) 上 f(x) 递减， (3，+∞) 上递增； ∴ f(x) 极大值 f(1) . 综上， a=3 . 由（1）， f(x) 极大值 f(1)=4+b ，极小值 f(3)=b ，又 −4<b<0 ， ∴ {4+b>0b<0 ， x→−∞，f(x)→−∞；x→+∞，f(x)→+∞ ∴此时 f(x) 有且只有3个零点.

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