题目

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. （1） （思想应用）已知m， n均为正实数，且m+n=2求 的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n.   ①用含m的代数式表示CE=，用含n的代数式表示DE=; ②据此求 的最小值; （2） （类比应用）根据上述的方法，求代数式 的最小值. 答案： 【1】m2+1【2】n2+4【3】CE+DE= m2+1 + n2+4 ，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=2，DH=AB=2， 在Rt△CHD中，CD= 22+(2+1)2=13 ， ∴CE+DE的最小值为 13 ，即 m2+1+n2+4 的最小值为 13 ； 如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x， 在Rt△ACE中，CE= x2+25 ， 在Rt△BDE中，DE= （x-16）2+49 ∴CE+DE= x2+25 + （x-16）2+49 ， 而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∵四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=7，DH=AB=16， 在Rt△CHD中，CD= 162+（5+7）2=20 ∴CE+DE的最小值为20，即 x2+25+(x−16)2+49 的最小值为20.

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